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Divisibilité par 3 et par 9 : additionne les chiffres

Niveau 2 critères de divisibilité · Relu par Équipe éditoriale de NumThink · Dernière relecture

En bref : Additionne les chiffres. Si la somme est divisible par 3 (ou par 9), le nombre l'est aussi — et cette somme a le même reste que le nombre dans la division. Pour 9, continue à additionner les chiffres : 3462 → 15 → 6, donc le reste de 3462 ÷ 9 est 6. Pour 3, divise la somme par 3.

Cette page fait partie du cours de critères de divisibilité de NumThink. Lis pourquoi la méthode fonctionne, observe-la sur des exemples résolus et entraîne-toi dans l'encadré ci-dessous jusqu'à ce que ça devienne automatique.

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Pourquoi ça marche

10, c'est 9 + 1, donc chaque dizaine, centaine et millier est « un multiple de 9, plus 1 » : 100 = 99 + 1. Un chiffre 4 au rang des centaines vaut 4 × 99 + 4 — et 4 × 99 est divisible par 9.

Si tu retires tous ces multiples de 9, il reste juste la somme des chiffres. C'est pareil pour 3, car 9 est un multiple de 3.

Les étapes

  1. Additionne les chiffres. 3462 : 3 + 4 + 6 + 2 = 15.
  2. Répète jusqu'à obtenir un seul chiffre. 1 + 5 = 6.
  3. Conclus. ÷9 : le reste est 6 (une somme finale de 9 voudrait dire un reste de 0). ÷3 : 6 est divisible par 3, donc 3462 est divisible par 3.

Exemples résolus

Facile Reste de 2477 ÷ 3

Voir le raisonnement

2 + 4 + 7 + 7 = 20

20 ÷ 3 : reste 2

Donc le reste de 2477 ÷ 3 est 2.

Réponse : 2

Moyen Reste de 6147 ÷ 9

Voir le raisonnement

6 + 1 + 4 + 7 = 18

1 + 8 = 9, un multiple de 9

Donc le reste de 6147 ÷ 9 est 0 : la division tombe juste.

Réponse : 0

Difficile Reste de 41838 ÷ 9

Voir le raisonnement

4 + 1 + 8 + 3 + 8 = 24

2 + 4 = 6

Donc le reste de 41 838 ÷ 9 est 6.

Réponse : 6

Quand l'utiliser

  • Partager : 522 cartes entre 9 joueurs, ça tombe juste, car 5 + 2 + 2 = 9 — chacun en reçoit 58.
  • Vérifier une multiplication (« preuve par 9 ») : pour 47 × 23 = 1081, les sommes des chiffres se réduisent à 2 et 5 ; 2 × 5 = 10, qui se réduit à 1 — et 1081 se réduit aussi à 1 ✓.

Quand NE PAS l'utiliser

  • Les autres diviseurs : l'astuce de la somme des chiffres ne marche que pour 3 et 9 (car 10 − 1 = 9). Pour 4, 7 ou 11, elle donne de mauvaises réponses.
  • Les petits nombres : 27 ÷ 9 se trouve directement avec la table de 9.

Erreurs fréquentes

Utiliser la somme des chiffres pour 6. Décider que 15 est divisible par 6 parce que ses chiffres font 6. Solution : Pour être divisible par 6, il faut l'être par 2 et par 3 : 15 est impair, donc il n'est pas divisible par 6 (voir la leçon suivante).
Prendre une somme finale de 9 pour un reste de 9. Dire que le reste de 6147 ÷ 9 est 9. Solution : Un reste est toujours inférieur au diviseur : une somme des chiffres de 9 veut dire un reste de 0.
Vérifie-toi : Multiplie pour vérifier : 9 × 683 = 6147, donc le reste est 0 ✓.